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那一日,泪水打湿雪花冰冷的心

曾经的滋味,回忆在一次次的离合中,回眸时,那一刻,如涟漪般在一刹那融化

 
 
 

日志

 
 

数论一些定理  

2010-03-30 22:18:35|  分类: 其他 |  标签: |举报 |字号 订阅

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1、(m,a)=1,若d0是使m|a^d-1最小的整数d0,则m|a^h-1的充要条件是d0|h
2、n!中素数p的指数为sigma(i=p;i<=n;i*=p)n/i
3、不小于x的最小整数-[-x]
4、小于x的最大整数-[-x]-1
5.、大于x的最小整数[x]+1
6、离x最近的整数是[x+1/2]和-[-x+1/2]
7、区域:x1<x<=x2,0<y<=f(x)上的整点个数M=sigma(x1<n<=x2)[f(n)],且[x1]-[x2]<M-sigma(x1<n<=x2)f(n)<=0
8、小于x的整数中素数的个数约等于x/ln(x)>log2(log2(x)),pn<=2^(2^(n-1))
9、Euler函数=N*(1-1/p1)*(1-1/p2)……
10、a1*x+a2*y=c,(a1,a2)=1,非负解的个数为[x0/a2]+[y0/a1]+1,当c>a1*a2-a1-a2时有非负解,个数等于[c/(a1*a2)]或[c/(a1*a2)]+1,当c=a1*a2-a1-a2时没有非负解
11、a1*x+a2*y=c,(a1,a2)=1,正解的个数为-[-x0/a2]-[-y0/a1]-1,当c>a1*a2时有正解,个数等于-[-c/(a1*a2)]或-[-c/(a1*a2)]-1,当c=a1*a2时没有正解,有正解的充要条件是a1*x+a2*y=x-a1-a2有非负解
12、所有x^2+y^2=z^2的整数x,y,z全体解为k(r^2-s^2),2*k*s*r,K(r^2+s^2),其中(s,r)=1,r+s是奇数
13、所有x^2+y^2=z^4的整数x,y,z全体解为k|6*a^2*b^2-a^4-b^4|,4*k*s*r*(r^2-s^2),K(r^2+s^2),其中(s,r)=1,r+s是奇数
14、欧拉函数f(x)是积性函数,当x>=3,2|f(x),sigma(d|m)f(d)=m
15、c(n,k)(k<=n)奇偶性取决于(n-k)与k的二进制表达式是否存在同一位上的两个数码均为1,若存在,则为偶数,反之为奇数,或者n&k=k时为奇数,第二类Stirling数的奇偶性是z=n-ceil((k+1)/2),w=floor((k-1)/2),看z&w=w
16、n>=1,b的素因数都>n,对于任意a有:n|a*(a+b)*(a+2*b)...*(a+(n-1)*b)
17、设素数p>2,d是p的二次剩余的充要条件是d^((p-1)/2)=1(mod p),二次非剩余的充要条件是d^((p-1)/2)=-1(mod p)恰有(p-1)/2个二次剩余和(p-1)/2个二次非剩余,-1是二次剩余的充要条件是p=1(mod 4)
18、Legendre符号性质:(d/p)=1是二次剩余,-1是二次非剩余,0说明p|d,(d/p)=((d+p)/p),(d/p)=d^((p-1)/2)(mod p),(d*c/p)=(d/p)*(c/p),(1/p)=1,(-1/p)=(-1)^((p-1)/2),(2/p)=(-1)^((p^2-1)/8)p=+-1(mod)8是1否则是-1
19、Gauss二次互反律:p,q是奇素数则(p/q)*(q/p)=(-1)^((p-1)/2*(q-1)/2)
20、1,2,4,p^a,2*p^a有原根,有phi(phi(n))个原根,设a对n的指标为t(即最小的t使得a^t=1(mod n))则a^x的指标为t/gcd(t,x)
21、每个正整数一定可表示为4个平方数之和,4^a*(8*k+7)不能表示为3个整数的平方和,2*4^a不能表示为4个正平方数之和,除去(1,2,3,4,6,7,9,10,12,15,18,33)12个数,每个正整数都能表示为5个正平方数之和
22、p是素数,x^2+y^2=p有解的充要条件是p=2或(-1/p)=1即p=2或p=4*k+1,设正整数n=d^2*m,m无平方因子,则x^2+y^2=n有解的充要条件是m没有形如4*k+3的素因数,素数p>3,x^2+3*y^2=p有解的充要条件是(-3/p)=1,即p是形如6*k+1的素数
23、x^2+y^2=n的解数为4*sigma(h(d))d是n的因子,h的定义如下h(1)=1,h(d)=0如果d是偶数,否则是(-1)^((d-1)/2)
23、a*x^2+b*y^2+c*z^2=0有解的充要条件是,a,b,c正负号不全相同,且-b*c,-a*c,-a*b分别是a,b,c的二次剩余
24、连分数<x0,x1...xn>=Pn/Qn则P-2=0,P-1=1,Q-2=1,Q-1=0,Pn=xn*Pn-1+Pn-2,Qn=xn*Qn-1+Qn-2,无理数x,ai=[xi],xi=1/{xi-1}
25、设d>1不是平方数,x^2-d*y^2=+-1有解x=x0>0,y=y0>0那么,x0/y0一定是sqrt(d)的某个渐进分数hn/kn,纯循环连分数是实二次无理数
26、x^2-d*y^2=1(1),x^2-d*y^2=-1(2),sqrt(d)的循环连分数周期为l,渐进分数hn/kn,(1)若l为偶数,方程(2)无解,方程(1)的全体正解为x=h(l*j-1),y=(l*j-1),j=1,2,3...(2)l为奇数时(2)的全部正解为x=h(l*j-1),y=(l*j-1),j=1,3,5..,(1)的全部正解为x=h(l*j-1),y=(l*j-1),j=2,4,6..
27、任意取两个正整数,他们互质的概率是6/(pi^2)
28、(p,q)=1,p>=1,q>=1,x>=1,y>=1,则px+qy不能表示的最大数是pq-p-q,不能表示的非负数个数是(p-1)(q-1)/2,任意非负数n都能表示为up+vq(0<=u<=q-1)
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